机械臂动力学

1 Rotation matrix

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符号指的是下标frame相对于上标frame
用于描述一个frame相对于另一个frame的姿态。即body frame坐标轴在world frame坐标轴下的投影，每一column相当于body frame的是三个基向量在A frame里的坐标。由于点乘的可交换性，有：

容易验证旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵为其转置

即有：
$$
^A_BRT=^A_BR{-1}=^B_AR
$$

$$
^AP=A_BR^BP
$$

绕X轴转动$\theta$:

e.g.

Fixed Angles是固定旋转轴的旋转方式（可以理解为是对静参考系三轴的旋转）：

正算（知道绕哪三个轴旋转多少度，求rotation matrix）：对X轴转动$\gamma$，再对Y轴转动$\beta$，最后对Z轴转动$\alpha$：
$$
^A_BR_{XYZ}(\gamma,\beta,\alpha)=R_{Z}(\alpha)R_{Y}(\beta)R_{X}(\gamma)
$$

先转的角度放后，后转的放前

Euler Angles是转动旋转轴的旋转方式（可以理解为是对动参考系三轴的旋转）：

正算（知道绕哪三个轴旋转多少度，求rotation matrix）：对Z’轴转动$\alpha$，再对Y’轴转动$\beta$，最后对X’轴转动$\gamma$：
$$
^A_BR_{Z’Y’X’}(\alpha,\beta,\gamma)=R_{Z’}(\alpha)R_{Y’}(\beta)R_{X’}(\gamma)
$$

先转的角度放前，后转的放后

Fixed Angles和Euler Angles是等价的，只是旋转顺序不同。从它们的表达式中可以看出来，Fixed Angles正转等效于Euler Angles的反转。
两种旋转方式可以选择的转轴可以变化，共有只要与前一根轴不同即可，故有3*2*2=12种组合方式，其中最常用的是ZYZ和ZXY。
rotation matrix在使用时相对于静坐标系转动左乘，相对与动坐标系转动右乘。

定义齐次变换矩阵$^A_BT$为： alt text
其中$^A_BR$为rotation matrix，$^AP_{B\ org}$为B frame’s origin在A frame下的坐标。

先移动后转动和先转动后移动的matrix不同。如下：

先移动后转动相当于会先加移动算子再加转动算子会多出一项

两个frame：
多个frame：

连续运算法则：

即有
$$
^B_AT=A_BT^{{-1}=\begin{pmatrix}&}B_AR&&^BP_{A\ org}\0&0&0&1\end{pmatrix}
$$

四个参数：

$a_i$：连杆长度(Link length)
$\alpha_i$：连杆扭转(Link twist)
$d_i$：连杆偏移(Link offset)
$\theta_i$：关节角度(Joint angle)
具体如图:

特别地，在Revolute joint和Prismatic joint中，四个参数只变动一个参数。（很容易想象，因为Link一般为rigid body，Link length一般不变；Axis一般也是固定的，Link twist一般不变）